Feb 042014
 
Navegación a por estima

Vamos explicar el método que se utiliza en náutica para calcular la distancia y el rumbo directo entre dos puntos de los que se conocen sus coordenadas geográficas. El procedimiento proporciona valores precisos para puntos cuya separación sea menor de unas doscientas millas, esto es, unos 370 kilómetros. Es el denominado problema de estima inversa en navegación loxodrómica.

No vamos a entrar en las matemáticas del asunto, sino que vamos a utilizar una regla nemotécnica para memorizar dos triángulos rectángulos que nos permitirán deducir las fórmulas correspondientes. La justificación matemática se puede encontrar en cualquier tratado de náutica. A mí me gusta más que otros el libro de Luis Mederos ‘Navegación Astronómica’.

El problema que queremos resolver es, conocidas las coordenadas geográficas de dos puntos, calcular la distancia entre ellos y el rumbo directo a seguir para ir del primer al segundo punto. Llamaremos longitud1, latitud1, longitud2 y latitud2 a las coordenadas conocidas de los puntos.

Los dos triángulos rectángulos que nos proporcionan las fórmulas para relacionar las variables son los de la figura, donde el significado de las variables es el siguiente:

  • Δl: Incremento de latitud, esto es, latitud2-latitud1
  • R: rumbo para ir del primer punto al segundo. El rumbo es un ángulo medido desde el Norte hacia el Este (a derechas)
  • D: distancia entre los dos puntos
  • Ap: Apartamiento, esto es, la longitud del arco comprendido entre dos meridianos, medido a una latitud concreta. (ver ref)
  • lm: Latitud media, o sea, (latitud1+latitud2)/2
  • ΔL: incremento de longitud, es decir, (longitud2 – longitud1)

Calcularemos en primer lugar el Apartamiento, Ap, a partir de la fórmula que deducimos del segundo triángulo:

Ap =  ΔL * cos(lm)

En esta fórmula, como en las demás, es muy importante la utilización de las unidades correctas. En general, las coordenadas de los puntos inicial y final vendrán expresadas en grados sexagesimales. Tenemos que pasar todos los ángulos a radianes antes de comenzar a operar.

Una vez calculado el Apartamiento utilizaremos el primer triángulo de la figura para calcular el Rumbo y la Distancia:

R = atan( Ap /  Δl)
D = asin( Ap / sin(R) )

El rumbo obtenido estará expresado en radianes, por lo que habrá que pasarlo a grados para que sea de utilidad en el compás

La distancia también está en radianes. Habra que pasarla a minutos de arco, o lo que es lo mismo, a millas. Una vez en millas podremos expresarla en metros multiplicando por 1851:

D (millas) = D (minutos) = D (rad) * 180.0 /  π * 60 
D (metros) = D (millas) * 1851 

Os dejo un enlace a las rutinas java que resuelven el problema:

loxodromia.java

Por último indicar que la regla nemotécnica para memorizar los triángulos es la frase que aparece bajo la figura: Alrededor del Apartamento apareció la madre de Luis



Santiago Higuera (4 de febrero de 2014)

Jun 262010
 

En el mar, cuando se deja de ver la costa, es indispensable tener algún método que permita saber cual es nuestra posición. El buque, al navegar a un rumbo, sufre constantemente las desviaciones producidas por el viento y las corrientes. Primero hubo que comprender que el planeta era esférico. Calcular la latitud era sencillo. Colón hizo su viaje a América a latitud constante recorriendo un paralelo. O eso es lo que intentó.

La medida de la longitud en cambio era un problema muy complicado de resolver con los medios de la época. De hecho no lo tenían resuelto.

A principios del siglo XVIII no se disponía de un método eficaz para calcular la longitud y en ello estaba la clave para dominar los inmensos oceanos recien descubiertos y los que quedasen por descubrir.

jorgejuan

Jorge Juan fue un destacado marino y científico español del siglo XVIII (1713-1775). A él le debemos la llegada a España de los primeros relojes mecánicos para la Marina, así como la primera máquina de vapor que se trajo a España y se utilizó para desecar un dique de construcción naval en Cartagena, el primer dique seco del Mediterraneo. Estos y otros útiles inventos así como información valiosísima acerca del estado de conocimiento de la época fueron obtenidas durante su misión en Inglaterra como agente al servicio de la Corona.

Antes de esto había participado en la expedición dirigida por el astronómo Luis Godín, primer Director de Real Observatorio de Cádiz,  y que determinó el grado de achatamiento de la Tierra. A raiz de este viaje, Jorge Juan estuvo varios años por América recopilando información para la Corona Española.

También tuvo ocasión de participar en combates navales en las campañas de Orán y Nápoles. En españa tuvo decisivas aportaciones a la forma de gestionar la construcción de los buques. A propuesta de Jorge Juan al Marqúes de la Ensenada, se construyó e inauguró en 1753 el Real Observatorio de Cádiz, actual Real Observatorio de la Armada y primer observatorio astronómico de España.

corredera

Corredera

La clave para poder calcular la longitud estaba en la medida del tiempo. En tierra ya existían relojes de péndulo de gran precisión, pero embarcados perdían su utilidad. Los relojes de arena seguían siendo la forma habitual de medir tiempos en los buques. Por ejemplo para medir la velocidad de un buque se utilizaba la corredera y se medía el tiempo con un pequeño reloj de arena (ampolleta) de medio minuto.

Si se podía medir el tiempo con precisión entonces el problema del cálculo de la longitud quedaba resuelto y con ello se obtenía la posibilidad de explorar y dominar cuantos territorios se pudieran descubrir en el planeta.

El problema a resolver es el siguiente: Un buque zarpa desde el meridiano de Greenwich con su reloj puesto en hora de Greenwich, hora UTC, y navega pongamos hacia el Oeste. No le es posible conocer su velocidad exacta pues constantemente es desviado de su rumbo teórico por el viento y las corrientes. Establecer el momento exacto del mediodía de un lugar es facil: Es el momento en que el Sol está más alto en el horizonte (en un buque moviéndose en el mar a veces no es tan fácil). En ese momento el reloj del buque marcará la hora que es en Greenwich. Este dato junto con las tablas de paso del Sol por el Meridiano de Greenwich nos permiten calcular la longitud del lugar, siendo éste el problema inverso del estudiado en el artículo acerca del cálculo de la hora de paso del Sol por el Meridiano.

Pongamos por caso que el Sol ha culminado a mediodía cuando el reloj de bitácora del buque marcaba las 14 horas,  20 minutos y 30 segundos (14:20:30).   Aquí los segundos son importantes. Cuatro segundos de error en la medida del tiempo equivalen en el Ecuador a una milla de error en la distancia medida. (Si quieres sincronizar tu reloj con precisión puedes utilizar la página que a tal efecto tiene el Real Observatorio de la Armada).

Portada-almanaque2

Almanaque Naútico de 1792 (Real Observatorio de Cádiz)

Supongamos que esto sucede un día en el que el almanaque naútico nos dice que el Sol pasa por el meridiano de Greenwich a las 12 horas 3.8 minutos.  Como el reloj del barco, en hora con Greenwich, marca las 14:20:30 al mediodía del lugar, el sol pasó por Greenwich hace :

(14:20:30 – 12:03:48) = 2:16:42 = 2 horas 16.7 minutos = 2.2783 horas

Estimando que el Sol recorre 360º en 24 horas (15º por hora) en las 2.2783 horas  transcurridas habrá recorrido:

Longitud = (360º / 24 h.) * 2.2783 h. = 34.175º = 34º 10.5′ W

Siendo esta nuestra Longitud al Oeste de Greenwich.

Hay que indicar que el Sol es una estrella más. El almanaque naútico, además del Sol, nos proporciona datos que permiten calcular la longitud a partir de la observación de las estrellas y de los planetas mayores.

Si no dispones de un almanaque naútico a mano, en la red puedes consultar Navigator. En este caso la hora de paso del Sol por el Meridiano de Greenwich la tendrás que obtener interpolando entre los valores de la tabla, como se hizo en el artículo acerca del cálculo de la hora de paso del Sol por el Meridiano.

Aquí tienes algunos enlaces interesantes en relación con el tema:

Santiago Higuera (26 Junio 2010)

Jun 232010
 

Si denominamos día al intervalo de tiempo transcurrido entre dos pasos sucesivos del Sol por el Meridiano de un lugar se puede comprobar que la duración del día varía a lo largo del año. (Ver artículo sobre el Solsticio de Junio). A este ‘día’ se le llama ‘Día Verdadero’.

Debido a que el Sol verdadero no es adecuado para medir el tiempo, se adoptó el convenio de un Sol ideal, llamado Sol medio. Este Sol recorre el Ecuador con movimiento uniforme. Este es el Tiempo Civil de días de 24 horas.

Esta forma de medir el tiempo produce desajustes a lo largo del año entre la Hora Civil del Lugar, regida por el Sol medio, y la Hora Solar Verdadera.

Si queremos saber a que hora civil pasará por el meridiano el Sol verdadero debemos realizar algunos cálculos.

Para ello necesitamos tablas que nos den la hora de paso del Sol verdadero por el meridiano de Greenwich. En España el Real Observatorio de la Armada, dependiente del Ministerio de Defensa y con sede en Cádiz, edita cada año, desde 1791, el Almanaque Naútico, ‘Publicación anual que contiene las efemérides del Sol, la Luna, los planetas observables y las estrellas más brillantes, necesarias para resolver los problemas de navegación astronómica’.

A través de Internet se puede acceder a un almanaque en linea en la página de Navigator. Realizaremos el ejercicio para el día 24 de Junio de 2010. La figura muestra la página del almanaque proporcionado por Navigator.

almanaqueEl almanaque nos da, para cada hora civil del día en el meridano de Greenwich (hora UTC), el Angulo Horario del Sol en ese momento, GHA,  y su Declinación, Dec.

El Angulo Horario de un astro es el arco de ecuador medido desde el meridiano del lugar a la posición del astro en el sentido de avance de los astros, esto es, positivo hacia el Oeste. (Nos ponemos mirando al Sur y medimos el ángulo del astro hacia la derecha, hacia el Oeste)

El almanaque nos da ángulos horarios de 359º 23.8′ para las 12 h UTC y de 14º 23.6′ para las 13h.  El Almanaque editado por la Armada especifica, para cada día, la hora de paso del Sol por el Meridiano de Greenwich, pero aquí tendremos que interpolar entre los valores antedichos, pues queremos saber a que hora UTC el ángulo horario del Sol es 0º.

Para ello vemos que en los 60 minutos de tiempo que van desde las 12h a las 13h. el Sol ha avanzado:

(14º 23.6′) – (359º 23.8′) = 14º 59.8′ = 899.8 ‘ (minutos de arco)

Por lo tanto para pasar de la posición a las 12h UTC, 359º 23.8′, a una posición 0º0′ deberá avanzar 36.2 minutos de arco y empleará un tiempo:

t1 = 60/899.8 * 36.2 = 2.4 minutos tiempo

La hora de paso del Sol por el Meridiano de Greenwich será las 12h 2.4 minutos.

Pero esta es la hora de paso por Greenwich. Para saber la hora de paso por el meridiano de nuestro lugar de observación tendremos que calcular el tiempo que tardará el Sol en llegar desde el Meridiano de Greenwich hasta nuestro meridiano. Supongamos que estamos en un lugar cuya Longitud es -4º 0.0′. Por estar en longitudes al Oeste de Greenwich, el Sol pasará por nuestro meridiano después de haber pasado por Greenwich. El cálculo que se hace aquí es estimar que el Sol tarda 24 horas en dar la vuelta completa  y por tanto calcular el tiempo que tardará en recorrer el ángulo correspondiente a nuestra longitud.

t2= (24 h / 360º) * 4º = 0.2667 h = 16 minutos

Por lo tanto el Sol pasará por el meridiano de nuestra posición 16 minutos después de pasar por el meridiano de Greenwich, esto es, a las 12h 18.4 minutos UTC.

La hora oficial del lugar es otro cantar. Si estamos en España debemos saber que en verano llevamos dos horas de adelanto en la hora oficial respecto de la hora UTC, por lo que la hora oficial de paso del Sol por el meridiano de un lugar de España situado a una longitud de 4º Oeste el día 24 de Junio de 2010 será las 14h 18.4 minutos.

Santiago Higuera (23 Junio 2010)

Jun 212010
 

Ecliptica

El 21 de Junio de 2010 a las 11:29 UTC se producirá el solsticio de Junio, esto es , el momento del año en que el sol alcanzará la máxima altura sobre el horizonte al mediodía en el hemisferio Norte, y la mínima altura sobre el horizonte en el hemisferio Sur. Esto es debido a que el plano en el que la tierra da su órbita alrededor del sol está inclinado en relación con el eje sobre el que la tierra gira sobre si misma. Al plano de la orbita de la tierra alrededor del sol se le llama plano de la Eclíptica.

Esta inclinación del eje de giro de la tierra respecto del plano de la Eclíptica es lo que da origen a las estaciones. En particular el solsticio de Junio marca el inicio del verano en el hemisferio Norte y del invierno en el hemisferio Sur.

Earth-lighting-summer-solstice_ES

Ese día se producen efectos singulares: En el Polo Norte el sol circulara a una altura constante de 23º 27′ las 24 horas; En el Círculo Polar Artico el sol no se pondrá en todo el día, llegando a tocar su centro el horizonte a media noche. En el Trópico de Cáncer, a mediodía, el sol estará en el Cenit. En el Círculo Polar Antártico el Sol no saldrá en todo el día, llegando a tocar el horizonte a mediodía. En el Polo Sur el sol se mantendrá todo el día bajo el horizonte a una altura de -23º.

Habitualmente se dice que el 21 de Junio es el día más largo del año en el hemisferio Norte y el día más corto en el hemisferio Sur. Aquí hay que entender por día el periodo de tiempo que el Sol se mantiene sobre el horizonte de un lugar, en contraposición a la noche.

La duración del día en un lugar de latitud ‘lat’ se puede calcular en función de la declinación del Sol ‘d’.

T = 12 + 24 / PI * arcsin[tan(lat)*tan(d)]

El día del solsticio la declinación del Sol es 23º 27′ por lo que conocida la latitud de nuestro lugar de residencia podremos calcular las horas de luz.

La Tierra describe una elipse alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los focos. La distancia de la Tierra al Sol y la velocidad con la que la Tierra describe su órbita varían a lo largo del año. Al punto de la órbita terrestre que mas alejado está del Sol se le llama Afelio y al punto mas cercano se le llama Perihelio. Nada tiene que ver esta variación de distancia con las estaciones. Tampoco coinciden los solsticios con el Perihelio o Afelio. El Afelio, o punto más alejado, se produce unos días después del 21 de Junio, y el Perihelio unos días después del solsticio del 21 de Diciembre.

Si denominamos día al periodo de tiempo que transcurre entre dos pasos sucesivos del Sol por el Meridiano del lugar del observador, veremos que la duración del día también varía a lo largo del año. Intentaremos explicarlo con el gráfico inferior. Partimos de la posición 1 en la que el observador tiene el Sol sobre su meridiano. En la posición 2 la tierra ha girado 360º sobre si misma, pero al haberse desplazado a lo largo de la órbita no tiene al Sol enfrentado con el meridiano, sino que tiene que hacer un giro adicional α, lo que consigue al llegar a la posición 3.

OrbitaTerrestre

La velocidad con la que la Tierra recorre su orbita varía, siendo mayor cuanto más cerca se encuentre del Sol, y máxima en el Perihelio. El día más largo del año se produce el 23 de Diciembre y su duración excede en casi medio minuto las 24 horas.

Por conveniencia se ha adoptado un tiempo civil dividiendo el año en 365 días de 24 horas y ajustando con un año bisiesto de un día más aquellos años que sean múltiplos de cuatro pero no sean múltiplos de cien, excepto aquellos que sean múltiplos de cuatrocientos.

Este descuadre entre tiempo civil y tiempo solar es el que hace que el mediodía del lugar no coincida con las 12:00, sino que varía a lo largo del año.

Fdo.: Santiago Higuera (20 Junio 2010)